Question

【题目】如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．

（1）若∠BEB′=110°，则∠BEC=°，∠AEN=°，∠BEC+∠AEN°．
（2）若∠BEB′=m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．
（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．

Answer 1

【答案】
（1）55,35,90
（2）解：不变．

由折叠的性质可得：∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，

∵∠BEB′=m°，

∴∠AEA'=180°﹣m°，

可得∠BEC=∠B'EC= ∠BEB′= m°，∠AEN=∠A'EN= ∠AEA'= （180°﹣m°），

∴∠BEC+∠AEN= m°+ （180°﹣m°）=90°，

故∠BEC+∠AEN的值不变；

（3）解：由折叠的性质可得：∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，

∴∠B'CF=∠B'CE=∠BCE= ×90°=30°，

在Rt△BCE中，

∵∠BEC与∠BCE互余，

∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣30°=60°，

∴∠B'EC=∠BEC=60°，

∴∠AEA'=180°﹣∠BEC﹣∠B'EC=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠AEN= ∠AEA'=30°，

∴∠ANE=90°﹣∠AEN=90°﹣30°=60°，

∴∠ANE=∠A'NE=60°，

∴∠DNA'=180°﹣∠ANE﹣∠A'NE=180°﹣60°﹣60°=60°．

【解析】解：（1）由折叠的性质可得，∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，

∵∠BEB′=110°，

∴∠AEA'=180°﹣110°=70°，

∴∠BEC=∠B'EC= ∠BEB′=55°，∠AEN=∠A'EN= ∠AEA'=35°．

∴∠BEC+∠AEN=55°+35°=90°；

故答案为：55，35，90．

（1）由折叠的性质可知对应角相等，即∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，再由邻补角互补可得出其平分线夹角为90度；（2）类比（1）的方法，∠BEC+∠AEN的值仍是90度，保持不变；（3）由折叠性质知∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，再由平行线内错角相等可知∠B'CF=∠B'CE=∠BCE= ×90°=30°,再由余角性质可得∠DNA'=180°﹣∠ANE﹣∠A'NE=180°﹣60°﹣60°=60°.