Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线与AC交于点F．

（1）求证：EF=CF；

（2）若AE=8，cosA=，求DF的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)2.

【解析】分析：（1）连接OD，DE，先说明OD∥AC，由切线的性质得∠ODF=90°，从而∠DFC=90°，再证明DE=DC，根据三线合一结论可证；

（2）连接AD，BE，先说明DF是△BCE的中位线，从而DF=BE，在Rt△ABE中，求出AB和BE的长，进而可求出DF的长.

详解：（1）证明：连接OD，DE，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF与⊙O相切，

∴OD⊥DF，即∠ODF=90°，

∴∠DFC=90°，即DF⊥AC，

∵∠ABC+∠AED=180°，∠AED+∠DEC=180°，

∴∠DEC=∠ABD=∠C，

∴DE=DC，

∴EF=FC；

（2）连接AD，BE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∴DF是△BCE的中位线，

∴DF=BE，

在Rt△ABE中，

∵cos∠BAE=，

∴AB=，

根据勾股定理可得：BE=，

∴DF=．