Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求CE的长；

（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）8-4（3）4π

【解析】

（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；

（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EFAE，即42=CE（16﹣CE），继而可求得CE长；

（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得的长度.

（1）如图1，连接AD，OD；

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴∠ODE=∠DEA=90°，

∴DE为⊙O的切线；

（2）如图2，连接BF，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴BF∥DE，

∵CD=BD，

∴DE=BF，CE=EF，

∵∠A=30°，AB=16，

∴BF=8，

∴DE=4，

∵DE为⊙O的切线，

∴ED2=EFAE，

∴42=CE（16﹣CE），

∴CE=8﹣4，CE=8+4（不合题意舍去）；

（3）如图3，连接OG，连接AD，

∵BG∥DF，

∴∠CBG=∠CDF=30°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=75°，

∴∠OBG=75°﹣30°=45°，

∵OG=OB，

∴∠OGB=∠OBG=45°，

∴∠BOG=90°，

∴的长度==4π．