Question

【题目】如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，M是BC延长线上一点，连接AM交⊙O于点D，延长BD至点N，使得BN=AM，连接CN，MN．
（1）判断△CMN的形状，并证明你的结论；
（2）求证：CN是⊙O的切线；
（3）若等边△ABC的边长是2，求ADAM的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：△CMN为等边三角形．理由如下：

∵△ABC为等边三角形，

∴CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，

在△BCN和△ACM中

，

∴△BCN≌△ACM，

∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，

∴∠ACB+∠ACN=∠ACN+∠MCN，

∴∠MCN=∠ACB=60°，

∴△CMN为等边三角形

（2）证明：连接OC，如图，

∵CA=CB，

∴ = ，

∴OC⊥AB，

∵∠ABC=∠MCN=60°，

∴AB∥CN，

∴OC⊥CN，

∴CN是⊙O的切线

（3）解：连接CD，如图，

∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ACM+∠ACB=180°，

而∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ADC=∠ACM，

而∠DAC=∠CAM，

∴△ACD∽△AMC，

∴AC：AD=AM：AC，

∴ADAM=AC2，

∵等边△ABC的边长是2，

∴AC=2，

∴ADDM=4．

【解析】（1）利用等边三角形的性质得到CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，再证明△BCN≌△ACM得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，则∠MCN=∠ACB=60°，于是可判断△CMN为等边三角形；（2）连接OC，如图，利用CA=CB得到 = ，则根据垂径定理的推论得到OC⊥AB，再证明AB∥CN，则OC⊥CN，然后根据切线的判定方法可判断CN是⊙O的切线；（3）连接CD，如图，证明△ACD∽△AMC，利用相似比得到ADAM=AC2 ， 然后利用等边△ABC的边长是2可得到ADDM的值．