Question

【题目】如图，已知四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AD，E为垂足．求证：AB＋AD＝2AE.

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.利用角平分线性质得CH＝CE，∠HCA＝∠ECA，证△ACH≌△ACE(AAS)，得AH＝AE.∠HBC＝∠D.再证△BHC≌△DEC(AAS)，得HB＝DE，

所以AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.

证明：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.

∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，

∴CH＝CE，∠HCA＝∠ECA(等角的余角相等)．

在△ACH和△ACE中，

∴△ACH≌△ACE(AAS)，

∴AH＝AE.

又∵∠ABC＋∠HBC＝180°，

∠ABC＋∠D＝180°，

∴∠HBC＝∠D.

在△BHC和△DEC中，

∴△BHC≌△DEC(AAS)，

∴HB＝DE，

∴AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.