Question

【题目】设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．

求证：（1）AD是⊙B的切线；（2）AD=AQ；（3）BC2=CFEG．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）连接BD，由DC⊥AB，C为AB的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，再根据正方形的性质，可得∠ADB=90°；
（2）由BD=BG与CD∥BE，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，继而求得∠ADQ=∠AQD=67.5°，由等角对等边，可证得AD=AQ；
（3）易求得∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，即可证得Rt△DCF∽Rt△GED，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．

试题解析：

（1）连接BD，

∵四边形BCDE是正方形，

∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，

∵C为AB的中点，

∴CD是线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠ADB=90°，

即BD⊥AD，

∵BD为半径，

∴AD是⊙B的切线；

（2）∵BD=BG，

∴∠BDG=∠G，

∵CD∥BE，

∴∠CDG=∠G，

∴∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，

∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°，

∴∠ADQ=∠AQD，

∴AD=AQ；

（3）连接DF，

在△BDF中，BD=BF，

∴∠BFD=∠BDF，

又∵∠DBF=45°，

∴∠BFD=∠BDF=67.5°，

∵∠GDB=22.5°，

在Rt△DEF与Rt△GCD中，

∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，

∴Rt△DCF∽Rt△GED，

∴,

又∵CD=DE=BC，

∴BC2=CFEG．