Question

【题目】如图，点E，F在菱形ABCD的对边上，AE⊥BC．∠1＝∠2．

（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．

（2）若AE＝4，AF＝2，试求菱形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】四边形AECF是矩形，理由见解析；（2）菱形ABCD的面积＝20.

【解析】

（1）由菱形的性质可得AD=BC，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，由∠1=∠2可得∠EAF=∠FCB=90°=∠AEC，可得四边形AECF是矩形；
（2）由勾股定理可求AB的值，由菱形的面积公式可求解．

解：（1）四边形AECF是矩形
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形
∴AD=BC=AB，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥BC
∴AE⊥AD
∴∠FAE=∠AEC=90°
∵∠1=∠2
∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2
∴∠EAF=∠FCB=90°=∠AEC
∴四边形AECF是矩形
（2）∵四边形AECF是矩形
∴AF=EC=2
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
∴AB2=16+（AB-2）2，
∴AB=5
∴菱形ABCD的面积=5×4=20