Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G， GB=GC．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若△GEF的面积为2．

①求四边形BCFE的面积；

②四边形ABCD的面积为　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①16；②24；

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB=DC，AB∥CD于是得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到∠A=∠D，根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，由矩形的判定定理即可得到结论；

（2）①根据相似三角形的性质得到，求得△GBC的面积为18，于是得到四边形BCFE的面积为16；

②根据四边形BCFE的面积为16，列方程得到BCAB=24，即可得到结论．

（1）证明：∵GB=GC，

∴∠GBC=∠GCB，

在平行四边形ABCD中，

∵AD∥BC，AB=DC，AB∥CD，

∴GB-GE=GC-GF，

∴BE=CF，

在△ABE与△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF，

∴∠A=∠D，

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°，

∴∠A=∠D=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）①∵EF∥BC，

∴△GFE∽△GBC，

∵EF=AD，

∴EF=BC，

∴，

∵△GEF的面积为2，

∴△GBC的面积为18，

∴四边形BCFE的面积为16，；

②∵四边形BCFE的面积为16，

∴（EF+BC）AB=×BCAB=16，

∴BCAB=24，

∴四边形ABCD的面积为24，

故答案为：24．