Question

【题目】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC= ．点E为线段BD上任意一点（点E与点B，D不重合），过点E作EF∥CD，与BC相交于点F，连接CE．设BE=x，y= ．

（1）求BD的长；
（2）如果BC=BD，当△DCE是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果BC=10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，过A作AH⊥BD于H，

∵AD∥BC，AB=AD=5，

∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，

在Rt△ABH中，

∵tan∠ABD=tan∠DBC= ，

∴cos∠ABD= ，

∴BH=DH=4，

∴BD=8；

（2）

解：∵△DCE是等腰三角形，且BC=BD=8，

∴①如图2，

当CD=DE时，即：CD=DE=BD﹣BE=8﹣x，

过点D作DG⊥BC于G，

在Rt△BDG中，tan∠DBC= ，BD=8，

∴DG= BD= ，BG= BD= ，

∴CG=8﹣BG= ，

在Rt△CDG中，根据勾股定理得，DG2+CG2=CD2，

∴（ ）2+（ ）2=（8﹣x）2，

∴x=8+ （舍）或x=8﹣ ，

②如图3，

当CE=CD时，

过点C作CG⊥BD，

∴DG=EG= DE，

在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC= ，

∴BG= ，

∴DG=BD﹣BG= ，

∴x=BE=BD﹣DE=BD﹣2DG=

（3）

解：∵BF=x，BC=10，

∴FC=10﹣x，

∴ ，

∵EF∥DC，

∴△FEB∽△CDB，

∴

∴ = =﹣ x2+ x（0＜x＜8）

【解析】（1）过A作AH⊥BD于H，再根据AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根据tan∠ABD=tan ，计算出BH=DH=4，进而得到BD=8；（2）分两种情况用锐角三角函数计算即可得出结论．（3）首先利用平行线的性质得出△FEB∽△CDB，即可得出y与x的函数关系式；
【考点精析】通过灵活运用梯形的定义和直角梯形，掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形；一腰垂直于底的梯形是直角梯形即可以解答此题．