Question

【题目】如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.
（Ⅰ）请写出AF与BE的数量关系与位置关系分别是什么，并证明.
（Ⅱ）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；

Answer 1

【答案】试题
【解析】（Ⅰ）AF=BE，AF⊥BE. 证明参考（Ⅱ）
（Ⅱ）结论成立.

证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.
在△EAD和△FDC中，
∴△EAD≌△FDC.
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF.
∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF +∠BAF=90°，
∴∠ABE +∠BAF=90°，
∴AF⊥BE.
（Ⅰ）根据SAS易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是AF=BE，位置关系是AF⊥BE； （Ⅱ）成立，证明△ADE≌△DCF，然后证明△ABE≌△ADF即可证得BE=AF，然后根据三角形内角和定理证明∠AMB=90°，从而结论得证.
【考点精析】关于本题考查的三角形的内角和外角，需要了解三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能得出正确答案．