【题目】小东根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：

（1）函数的自变量x的取值范围是__________________

（2）如表示y与x的几组对应值：

x

…

…

y

…

m

…

表中m的值为____________

（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的大致图像；

（4）结合函数图像，请写出函数的2条性质：

①__________________________________________________________________________

②__________________________________________________________________________

（5）解决问题：如果函数与直线的交点有2个，那么a的取值范围是_______________________

（6）在函数图像上，若，则m的取值范围______________

参考答案：

【答案】（1）全体实数；（2）；（3）见解析；（4）①当x＝1时，函数有最大值4；②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小；（5）0＜a＜4；（6）m≥.

【解析】

（1）根据分式的分母不能为零进行求解；

（2）代入x=4，求出对应的函数值即可；

（3）用平滑的曲线将点连接起来即可；

（4）根据函数图象写2条性质即可；

（5）根据图象，可得答案；

（6）根据函数的对称性和增减性，分三种情况，分别判断在m的不同取值范围内，和的大小关系即可.

解：（1）∵不论x为何值，分母都不为0，

∴自变量x的取值范围是：全体实数，

故答案为：全体实数；

（2）当x＝4时，，

故答案为：；

（3）如图所示：

（4）结合函数图像可知：①当x＝1时，函数有最大值4；②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小；

（5）由图象得：当0＜a＜4时，函数与直线的交点有2个，

故答案为：0＜a＜4；

（6）由函数图象可知：函数图象关于直线x=1对称，当x＝1时，函数有最大值，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，

故分情况讨论：

①当m≥1时，y随x的增大而减小，m+1＞m，则；

②当≤m＜1时，≤m+1＜2，由函数图象可得，此时；

③当m＜时，m+1＜，由函数图象可得，此时，

综上所述：当时，m的取值范围是：m≥.

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