Question

【题目】如图，O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　 　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

连结OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为AB=1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．

解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，

∵OA=OB=1，AB=1，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠APB=∠AOB=30°，

∵AC⊥AP，

∴∠C=60°，

∵AB=1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，

∵∠ACB=60°，点C在⊙D上，

∴∠ADB=120°，

如图2，

当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为，

∴△ABC的最大面积为．

故选D．