Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，，是线段上一点（与，点不重合），抛物线（）经过点，，顶点为，抛物线（）经过点，，顶点为，，的延长线相交于点．

（1）若，，求抛物线，的解析式；

（2）若，，求的值；

（3）是否存在这样的实数（），无论取何值，直线与都不可能互相垂直？若存在，请直接写出的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线L1的解析式为y=，抛物线L2的解析式为y=（2）m=±2（3）存在

【解析】

试题分析：（1）把a、m代入得到已知点，把点代入函数的解析式，然后构成方程组，根据待定系数法可求出函数的解析式；

（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，把a=-1代入函数解析式，然后结合（m，0）和（-4，0）代入可求解出函数解析式L1，然后分别求出D点坐标，得到DG、AG的长，同理得到L2，求得EH，BH的长，再根据三角形相似的判定与性质构造方程求解即可；

（3）根据前面的解答，直接写出即可.

试题解析：（1）由题意得

解得

所以抛物线L1的解析式为y=

同理，

解得

∴所以抛物线L2的解析式为y=

（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H

由题意得

解得

∴抛物线L1的解析式为y=-x2+（m-4）x+4m

∴点D的坐标为（，）

∴DG=，AG=

同理可得，抛物线L2的解析式为y=-x2+（m+4）x-4m

EH=，BH=

∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴

∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°

∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF

∴△ADG∽△EBH

∴

∴

解得m=±2

（3）存在，例如：a=-，a=-.（答案不唯一）