Question

【题目】如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于.

（1）求证：；

（2）若，求半径.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）⊙O半径是．

【解析】

试题分析：（1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．

（2）首先设CD为x，则AB=x，OC=OB=x，用x表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得：，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半径是多少．

试题解析：（1）证明：如图，连接CO，

，

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCD=90°，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO=∠BCD，

∵∠ACO=∠CAD，

∴∠CAD=∠BCD，

在△ADC和△CDB中，

∴△ADC∽△CDB．

（2）解：设CD为x，

则AB=x，OC=OB=x，

∵∠OCD=90°，

∴OD=，

∴BD=OD﹣OB=，

由（1）知，△ADC∽△CDB，

∴，

即，

解得CB=1，

∴AB=，

∴⊙O半径是．