Question

【题目】如图所示，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）．

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD．

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）；

（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）不成立；（3）证明见解析

【解析】

（1）如图，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；

（3）根据P的不同位置，分①当动点P在射线BA的右侧时，②当动点P在射线BA上时，③当动点P在射线BA的左侧时，三种情况讨论．

解：（1）如图所示．延长BP交直线AC于点E．

因为AC∥BD，所以∠PEA＝∠PBD．

因为∠APB＝∠PAE+∠PEA，所以∠APB＝∠PAC+∠PBD．

（2）不成立． 　

过P作PM∥AC，

∵AC∥BD，

∴AC∥PM∥BD，

∴∠PAC+∠APM=180°，∠PBD+∠BPM=180°，

∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，而不能推出∠APB=∠PAC+∠PBD；

故不成立；

（3）①当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．

②当动点P在射线BA上时，结论是∠PBD＝∠PAC+∠APB，或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．

③当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD

选择①证明：

如图1所示，连接PA，连接PB交AC于点M．

因为AC∥BD，所以∠PMC＝∠PBD．

又因为∠PMC＝∠PAM十∠APM，所以∠PBD＝∠PAC+∠APB．

选择②证明：如图2所示．因为点P在射线BA上，所以∠APB＝0°．

因为AC∥BD，所以∠PBD＝∠PAC．

所以∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB＝0°，∠PAC=∠PBD．

选择③证明：如答图3所示，连接PA，连接PB交AC于点F．

因为AC∥BD，所以∠PFA＝∠PBD．

因为∠PAC＝∠APF+∠PFA，所以∠PAC＝∠APF+∠PBD；

所以∠PAC=∠APB+∠PBD．