Question

【题目】已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣ ）．

（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，

∴﹣ =1，解得b=2，

∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A点坐标为（﹣1，0），

∵抛物线l2经过点A、E两点，

∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），

又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣ ），

∴﹣ =﹣5a，解得a= ，

∴y= （x+1）（x﹣5）= x2﹣2x﹣ ，

∴抛物线l2的函数表达式为y= x2﹣2x﹣

（2）解：设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），

∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，

∵PC=PA，

∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，

∴P点坐标为（1，1）

（3）解：由题意可设M（x， x2﹣2x﹣ ），

∵MN∥y轴，

∴N（x，﹣x2+2x+3）， x2﹣2x﹣

令﹣x2+2x+3= x2﹣2x﹣ ，可解得x=﹣1或x= ，

①当﹣1＜x≤ 时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（ x2﹣2x﹣ ）=﹣ x2+4x+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，

显然﹣1＜ ≤ ，∴当x= 时，MN有最大值 ；

②当 ＜x≤5时，MN=（ x2﹣2x﹣ ）﹣（﹣x2+2x+3）= x2﹣4x﹣ = （x﹣ ）2﹣ ，

显然当x＞ 时，MN随x的增大而增大，

∴当x=5时，MN有最大值， ×（5﹣ ）2﹣ =12；

综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12

【解析】（1）由抛物线l1的对称轴为x=1，得到b=2，得到抛物线l1的解析式，得到A点坐标为（﹣1，0），由待定系数法求出抛物线l2 的函数表达式；（2）设出P点坐标，由（1）可得C点坐标，由PC=PA，得到P点坐标为（1，1）；（3）由题意可设出M点的坐标，由MN∥y轴，得到N点坐标，得出MN有最大值 ；②当 ＜x≤5时 ，显然当x＞ 时，MN随x的增大而增大，所以当x=5时，MN有最大值；综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.