Question

【题目】如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ）

① AE DC；②AHC120；③△AGB≌△DFB；④BH平分AHC；⑤GF∥AC

A.①②④B.①③⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据等边三角形的性质得到BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，则可根据”SAS“判定△ABE≌△DBC，所以AE＝DC，于是可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠BDC，则可得到∠BAH＋∠BCH＝60°，从而根据三角形内角和得到∠AHC＝120°，则可对②进行判断；利用”ASA”可证明△AGB≌△DFB，从而可对③进行判断；利用△ABE≌△DBC得到AE和DC边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对④进行判断；证明△BGF为等边三角形得到∠BGF＝60°，则∠ABG＝∠BGF，所以GF∥AC，从而可对⑤进行判断．

解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，

∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，

∵∠DBE＝180°60°60°＝60°，

∴∠ABE＝∠DBC＝120°，

∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE＝DC，所以①正确；

∠BAE＝∠BDC，

∵∠BDC＋∠BCD＝∠ABD＝60°，

∴∠BAE＋∠BCD＝60°，

∴∠AHC＝180°（∠BAH＋∠BCH）＝180°60°＝120°，所以②正确；

∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，

∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；

∵△ABE≌△DBC，

∴AE和DC边上的高相等，

即B点到AE和DC的距离相等，

∴BH平分∠AHC，所以④正确；

∵△AGB≌△DFB，

∴BG＝BF，

∵∠GBF＝60°，

∴△BGF为等边三角形，

∴∠BGF＝60°，

∴∠ABG＝∠BGF，

∴GF∥AC，所以⑤正确．

故选D．