Question

【题目】如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.

（1）求证：∠CBP=∠ADB.

（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BP=7.

【解析】

（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；

（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．

详（1）证明：连接OB，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴∠A+∠ADB=90°，

∵BC为切线，

∴OB⊥BC，

∴∠OBC=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

而OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∴∠CBP=∠ADB；

（2）解：∵OP⊥AD，

∴∠POA=90°，

∴∠P+∠A=90°，

∴∠P=∠D，

∴△AOP∽△ABD，

∴，即，

∴BP=7．