Question

【题目】已知一次函数y=kx+b的图象过P（1，4），Q（4，2）两点，且与x轴交于A点．

（1）求A点坐标；

（2）已知点M在x轴上，若使MP+MQ的值最小，求点M的坐标及MP+MQ的最小值；

（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否还存在一点N，使M，N，A，Q四点恰好构成平行四边形，若存在请求出点N的坐标，若不存在请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) A（7，0）;(2)3;(3)见解析.

【解析】

（1）把P（1，4），Q（4，2）代入y=kx+b，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式,然后得出点A的坐标;(2) 作Q点关于x轴的对称点Q′，连接PQ′交x轴于点M，根据两点之间线段最短得出此时MP+MQ的值最小．利用待定系数法求出直线PQ′的解析式，进而求出点M的坐标及MP+MQ即可．

解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象过P（1，4），Q（4，2）两点，

∴函数解析式为：

∴直线PQ和x轴交于A（7，0）;

（2）作Q点关于x轴的对称点Q′（4,-2），连接PQ′交x轴于点M，则MP+MQ的值最小,

∵P(1,4), Q′（4,-2）, ∴P Q′= ,此时MP+MQ最小，∴（MP+MQ）最小=P Q′=

（3）存在N(6,-2)，(8,2)或N(0,2)，

理由：如图：

①∵A(7,0),M(3,0),

∴在平行四边形MAQ中，Q=AM=7-3=4, ∵Q∥x轴，∴(8,2);

②在平行四边形MAQ中，Q=AM=7-3=4,而Q∥x轴，∴(0,2);

③在平行四边形QMA中, ∵MQ=A,∠QME=AF, ∠QEM=∠FA=90°，

∴△QME≌△AF, ∴QE=F=2,AF=ME=4-3=1, ∴OF=6, ∴(6,-2),

综上所述：N(6,-2)，(8,2)或N(0,2).