Question

【题目】如图1，ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且 点G在□ABCD内部．将BG延长交DC于点F．

（1）猜想并填空：GF　 　DF（填“＞”、“＜”、“=”）；

（2）请证明你的猜想；

（3）如图2，当∠A=90°，设BG=a，GF=b，EG=c，证明：c2=ab．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）GF=DF，

故答案为：=；

（2）理由是：

连接DG，

由折叠得：AE=EG，∠A=∠BGE，

∵E在AD的中点，

∴AE=ED，

∴ED=EG，

∵∠EGD=∠EDG，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=180°，

∵∠BGE+∠EGF=180°，

∴∠EDF=∠EGF，

∴∠EDF﹣∠EDG=∠EGF﹣∠EGD，

即∠GDF=∠DGF，

∴GF=DF；

（3）证明：如题图2，由（2）得：DF=GF=b，

由图可得：BF=BG+GF=a+b，

由折叠可得：AB=BG=a，AE=EG=c，

在平行四边形ABCD中，

BC=AD=2AE=2c，CD=AB=a，

∴CF=CD﹣DF=a﹣b，

∵∠A=90°，

∴□ABCD是矩形，

∴∠C=90°，

在Rt△BCF中，由勾股定理得，

BC2+CF2=BF2，

∴（2c）2+（a﹣b）2=（a+b）2，

整理得：c2=ab．