Question

【题目】如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：四边形ABCD为菱形；

（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由ASA证明△OAD≌△OCB得出OD＝OB，得出四边形ABCD是平行四边形，在证出∠CBD＝∠CDB，得出BC＝DC，即可得出四边形ABCD是菱形；

（2）由菱形的性质得出OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，由勾股定理得出BC＝＝5，证出△BOC∽△BED，得出，即可得出结果．

（1）证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD∥BC，

∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCB，∠ADB＝∠CBD，

在△OAD和△OCB中，

，

∴△OAD≌△OCB（ASA），

∴OD＝OB，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴BC＝DC，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，

∴∠BOC＝90°，

∴BC＝＝5，

∵DE⊥BC，

∴∠E＝90°＝∠BOC，

∵∠OBC＝∠EBD，

∴△BOC∽△BED，

∴，即，

∴DE＝．