Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交与点A（﹣3，0），点B（9，0），与y轴交与点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；
（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，当△PMN为等腰三角形时，求此时EM的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=﹣ ，抛物线与x轴交与点A（﹣3，0），点B（9，0），

∴可以假设抛物线解析式为y=﹣ （x+3）（x﹣9）=﹣ x2+ x+6，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+6

（2）

解：∵y=﹣ x2+ x+6=﹣ （x﹣3）2+8，

∴顶点D坐标（3，8），

∵AD=DB=10，

∴∠DAB=∠DBA，

∵PQ∥BD，

∴∠PQA=∠DBA，

∴∠PAQ=∠PQA，

∴PA=PQ，

∴△PAQ为等腰三角形，

作PH⊥AQ于H，则AH=HQ= （如图1中），

∴tan∠DAB= = ，

∴PH= m，

∴S=S△ADQ﹣S△APQ= m8﹣ m m=﹣ m2+4m=﹣ （m﹣6）2+12，

∴当m=6时，S最大值=12

（3）

解：∵E（ ，0），F（6，6），

∴直线EF解析式为y= x﹣2，直线AD解析式为y= x+4，

∴EF∥AD，作EL⊥AD于L，（如图2中）

∵AE= ，sin∠DAB= ，

∴LE= × = =PM，

①PM=PN= 时，

∴xP=3﹣ =﹣ ，yP=﹣ × +4= ，

∴P（﹣ ， ），

∴直线PM解析式为y=﹣ x+ ，

由 ，解得 ，

∴点M（ ， ）

∴EM= = ．

②NP=NM时，设直线EF与对称轴交于点K，K（3，2），

此时点N在PM的垂直平分线上，DN=NK，

∴N（3，5），P（ ，5），

∴直线PM的解析式为y=﹣ x+ ，

由 解得 ，

∴M（ ， ），

∴EM= = ，

③PM=MN时，cos∠MPN= = ，

∴PN= ，由此可得P（﹣ ， ），

∴直线PM解析式为y=﹣ x﹣ ，

由 解得 ，

∴M（ ，﹣ ），

∴EM= = ．

综上所述，EM= 或 或 ．

【解析】（1）可以假设抛物线解析式为y=﹣ （x+3）（x﹣9），展开化简即可．（2）作PH⊥AQ于H，则AH=HQ= （如图1中），根据S=S△ADQ﹣S△APQ构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．（3）分三种情形讨论①PM=PN，②NP=NM，③MN=MP，分别求出直线PM的解析式，利用方程组求出点M坐标即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．