Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．

（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD= ，求 的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F，

∵AO平分∠CAB，

OC⊥AC，OF⊥AB，

∴OC=OF，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接CE，

∵ED是⊙O的直径，

∴∠ECD=90°，

∴∠ECO+∠OCD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ECO=90°，

∴∠ACE=∠OCD，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ACE=∠ODC，

∵∠CAE=∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴ ，

∵tan∠D= ，

∴ = ，

∴ =

（3）解：由（2）可知： = ，

∴设AE=x，AC=2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴ ，

∴AC2=AEAD，

∴（2x）2=x（x+6），

解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），

∴AE=2，AC=4，

由（1）可知：AC=AF=4，

∠OFB=∠ACB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△OFB∽△ACB，

∴ = ，

设BF=a，

∴BC= ，

∴BO=BC﹣OC= ﹣3，

在Rt△BOF中，

BO2=OF2+BF2，

∴（ ﹣3）2=32+a2，

∴解得：a= 或a=0（不合题意，舍去），

∴AB=AF+BF= ．

【解析】（1）证AB是⊙O的切线，需要证明AB垂直半径，为此过点O作OF⊥AB于点F，再证明OF是半径可得证；
（2）连接CE，先证明△ACE∽△ADC，从而利用相似三角形的对应边成比例得到，再由tan∠D的值可求得答案；
（3）由△ACE∽△ADC，再利用相似三角形的对应边成比例得到AE、AC的长，设BF=a，再证明△OFB∽△ACB，利用相似三角形的对应边成比例可用a表示出BO，在Rt△BOF中，由勾股定理可求出a的值，进而求解.