Question

【题目】如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣ ），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．

（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点B作BE⊥AD，垂足为E．

∵B（1，﹣ ），A（2，0），

∴BE= ，AE=1．

∴AB= =2．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC=CD=AD．

∴菱形的周长=2×4=8．

（2）解：如图2所示：⊙M与x轴的切线为F，AD的中点为E．

∵M（﹣3，1），

∴F（﹣3，0）．

∵AD=2，且E为AD的中点，

∴E（3，0）．

∴EF=6．

∴2t+3t=6．

解得：t= ．

平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为⊙M与AD的切点．

∵由（1）可知；AE=1，BE= ，

∴tan∠EAB= ．

∴∠EAB=60°．

∴∠FAB=120°．

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠FAC= ∠FAB= ×120°=60°．

∵AD为⊙M的切线，

∴MF⊥AD．

∵F为AD的中点，

∴AF=MF=1．

∴△AFM为等腰直角三角形．

∴∠MAF=45°．

∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=45°+60°=105°．

（3）解：如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=120°，

∴∠DAC=60°．

∵AC、AD是圆M的切线，

∴∠MAE=30°．

∵ME=MN=1，

∴EA= ．

∴3t+2t=5﹣ ．

∴t=1﹣ ．

如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=120°，

∴∠DAC=60°．

∴∠NAE=120°．

∵AC、AD是圆M的切线，

∴∠MAE=60°．

∵ME=MN=1，

∴EA= ．

∴3t+2t=5+ ．

∴t=1+ ．

综上所述当t=1﹣ 或t=1+ 时，圆M与AC相切．

【解析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由A、B的坐标和勾股定理可求出AB的长，进而可得菱形ABCD的周长；
（2）设⊙M与x轴的切线为F，AD的中点为E.根据题意易求出EF的长，从而求出t的值；过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为⊙M与AD的切点．根据AD是圆M的切线和菱形的性质，可证得△AFM为等腰直角三角形，从而求得∠MAC的度数；
（3）在图4和图5中，连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．图4中，由四边形ABCD为菱形，可得∠DAC=60°，再由AC、AD是圆M的切线，可得∠MAE=30°，由三角函数可得EA的长，再由3t+2t=5-AE可求出t的值；图5中，同理先求出AEden长，再由3t+2t=5+AE求出t的值.