Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线BC的函数解析式为y’=kx+b,求当满足y<y’时，自变量x的取值范围.

（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=；

（2）x<0 或x>4时，y<y’；

（3）P1（3，1），P2（， ）P3（， ）

【解析】试题分析：（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=-=1，得到b=-2a②，抛物线过点A（-2，0），得到0=4a-2b+c③，然后由①②③可解得，a=-，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=-x2+x+4；

（2）先求出点B的坐标再观察图象，y时对应的图象为直线在上抛物线在下方的部分，即可得到x的取值范围；

（3）因为PQ∥DE，所以只需PQ=AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），

∴c=4 ①．

∵对称轴x=-=1，

∴b=-2a ②．

∵抛物线过点A（-2，0），

∴0=4a-2b+c ③，

由①②③解得，a=-，b=1，c=4，

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4；

（2）∵A（﹣2，0），对称轴x=1，

∴B（4，0）

根据图像，得x<0 或x>4时，y

（3）已知DE∥PQ，当DE=PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣ m2+m+4），

∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|=DE=，

∴m=1，m=3，m=，m=

当m=1时，线段PQ与DE重合，舍去．

∴P1（3，1），

P2（， ），

P3（， ）.