Question

【题目】已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．

（1）求∠EBC的度数；
（2）求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC=6，∠A=45°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∵△ABD是等腰三角形，AD=BD，

∴∠ABD=∠A=45°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABD=22.5°；

（2）解：∵∠A=∠ABD=45°，

∴∠ADB=∠CDE=90°，

∵AB=6，

∴BD=ABcos45°=3 ，

设DE=x，则CD=DE=x，

∴EC= = x，

∵BE=EC= x，

∴ x+x=3 ，

解得：x=6﹣3 ，

∴BE=6 ﹣6．

【解析】（1）根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABD=∠A=45°，从而根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABD算出结果；
（2）根据三角形的内角和得出∠ADB=∠CDE=90°，从而得出△ABD是等腰直角三角形，根据余弦的定义得出BD=ABcos45°，设DE=x，则CD=DE=x，根据勾股定理得出EC的长，根据BD=EB+ED,列出方程，求解即可。