Question

【题目】如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E．

（1）求证： = ；
（2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，求BE的长；
（3）若MA=6 ，sin∠AMF= ，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA、OE交BC于T．

∵AM是切线，

∴∠OAM=90°，

∴∠PAD+∠OAE=90°，

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠EDT+∠OEA=90°，

∴∠DTE=90°，

∴OE⊥BC，

∴ = ．

（2）∵ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，

∴EDEA=5，

∵ = ，

∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，

∴△BED∽△AEB，

∴ = ，

∴BE2=DEEA=5，

∴BE= ．

（3）作AH⊥OM于H．

在Rt△AMO中，∵AM=6 ，sin∠M= = ，设OA=m，OM=3m，

∴9m2﹣m2=72，

∴m=3，

∴OA=3，OM=9，

易知∠OAH=∠M，
tan∠OAH=,

∴OH=1，AH=2 ．BH=2，

∴AB= =

【解析】（1）要证两弧相等，可由垂径定理的推论须证直径垂直于弧所对的弦即可，须连结OE，证OEBC；（2）利用第（1）问的结论 = ，∴∠BAE=∠EBD，可得△BED∽△AEB，由对应边成比例可得BE2=DEEA，再由根与系数的关系得DEEA=5，即BE= ；（3）利用三角函数的基本方法是把这个角放到直角三角形中，因此须作AH⊥OM于H，由正弦求出对边=,再转化∠OAH=∠M，由正弦求正切，求出OH，进而算出BH，利用勾股定理算出AB.
【考点精析】关于本题考查的根与系数的关系和切线的性质定理，需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．