Question

【题目】将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．

（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小=_____（度）；

（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小=_____（度），点D的坐标为_____．

Answer 1

【答案】 30 90 （3，﹣3）

【解析】分析：（1）根据图形旋转的性质可知OB=OC=OD，再由圆周角定理即可得出结论；

（2）如图2，过点O作OM⊥CD于点M，连接EM，先根据AAS定理得出△OEB≌△OMC，故可得出OE=OM，∠BOE=∠COM，所以△OEM是等边三角形．根据OC=OD，OM⊥CD可知CM=DM．故可得出点O、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．由圆周角定理可得α的大小，再根据三角函数得出结论．

详解：（1）∵线段OC，OD由OB旋转而成，

∴OB=OC=OD．

∴点B、C、D在以O为圆心，AB为半径的圆上．

∴∠BDC=∠BOC=30°．

（2）如图2，过点O作OM⊥CD于点M，连接EM，过点D作BF⊥BO的延长线于点F．

∵∠OMD=90°，

∴∠OMC=90°．

在△OEB与△OMC中，

，

∴△OEB≌△OMC．

∴OE=OM，∠BOE=∠COM．

∴∠EOM=∠EOC+∠COM=∠EOC+∠BOE=∠BOC=60°．

∴△OEM是等边三角形．

∴EM=OM=OE．

∵OC=OD，OM⊥CD，

∴CM=DM．

又∵∠DEC=90°，

∴EM=CM=DM．

∴OM=CM=DM．

∴点O、C、D、E在以M为圆心，MC为半径的圆上．

∴α=∠COD=90°，

∴∠FOD=30°，

∴OF=3，DF=3，

∴点D的坐标为（3，-3）．