Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC ， 求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得

，

解得 ．

故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．

（2）解：由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．

∵S△AOP=4S△BOC，

∴ ×3×|﹣x2﹣2x+3|=4× ×1×3．

整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，

解得x=﹣1或x=﹣1±2 ．

则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2 ，﹣4）或（﹣1﹣2 ，﹣4）

（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，

得 ，

解得 ．

即直线AC的解析式为y=x+3．

设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），

QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ，

∴当x=﹣ 时，QD有最大值

【解析】（1）利用待定系数法，把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出方程组，求解即可求出抛物线的解析式。
（2）设P点坐标为（x，-x2-2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x-3），然后求出QD与x的函数解析式，求出其顶点坐标，即可求出线段QD长度的最大值。

【考点精析】通过灵活运用公式法和确定一次函数的表达式，掌握要用公式解方程，首先化成一般式．调整系数随其后，使其成为最简比．确定参数abc，计算方程判别式．判别式值与零比，有无实根便得知．有实根可套公式，没有实根要告之；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法即可以解答此题．