Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，D为 的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D为 的中点，

∴OD⊥AC，

∵AC∥DE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线

（2）解：连接DC，

∵D为 的中点，

∴OD⊥AC，AF=CF，

∵AC∥DE，且OA=AE，

∴F为OD的中点，即OF=FD，

在△AFO和△CFD中，

∴△AFO≌△CFD（SAS），

∴S△AFO=S△CFD，

∴S四边形ACDE=S△ODE

在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，

∴OE=8，

∴DE= =4 ，

∴S四边形ACDE=S△ODE= ×OD×DE= ×4×4 =8 ．

【解析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S△AFO=S△CFD ， 推出S四边形ACDE=S△ODE ， 求出△ODE的面积即可．