Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．

（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACO+∠DCE=90°，

又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，

∴∠EAD+∠E=90°，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，

故∠DCE=∠E，

∴DC=DE，

（2）

解：设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，

在Rt△EAD中，

∵tan∠CAB= ，∴ED= AD= （3+x），

由（1）知，DC= （3+x），在Rt△OCD中，

OC2+CD2=DO2，

则1.52+[ （3+x）]2=（1.5+x）2，

解得：x1=﹣3（舍去），x2=1，

故BD=1．

【解析】（1）根据“等角对等边”，从证∠DCE=∠E出发，连接OC，根据两个直角，去找相关角的数量关系；
（2）根据勾股定理构造方程去解.