Question

【题目】如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．

（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，则D点的坐标；E点的坐标 ．
（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；t取何值时，S有最大值，最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）（0,2.5）,（2,4）
（2）解：∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴PM：ED=AP：AE，

∴PM= ，

又∵AP=t，ED=2.5，AE=5，

∴PM= = t，

∵PM∥DE，MN∥EP，

∴四边形NMPE为平行四边形．

又∵∠DEA=90°，

∴四边形PMNE为矩形．

∴S矩形PMNE=PMPE= t（5﹣t）=﹣ t2+ t．

∴S矩形PMNE=﹣ （t﹣ ）2+ ，

又∵0＜ ＜5．

∴当t= 时，S矩形PMNE有最大值 ．

（3）解：（Ⅰ）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P为AE的中点，

∴t=AP= AE=2.5．

又∵PM∥ED，

∴M为AD的中点．

过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

∴MF= OD= ，OF= OA=2.5，

∴当t=2.5时，（0＜2.5＜5），△AME为等腰三角形．

此时M点坐标为（2.5，1.25）．

（Ⅱ）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）

在Rt△AOD中，AD= = ．

过点M作MF⊥OA，垂足为F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴AP：AE=AM：AD．

∴t=AP= =2 ．

∴PM= t= ．

∴MF=MP= ，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2 ，

∴当t=2 时，（0＜2 ＜5），此时M点坐标为（5﹣2 ， ）．

（Ⅲ）根据图形可知EM=EA的情况不成立．

综合综上所述，当t=2.5或t=2 时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为（ ， ）或（5﹣2 ， ）．

【解析】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∵在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE= =3．

∴CE=2．

∴E点坐标为（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）2+22=OD2．

解得：OD=2.5．

∴D点坐标为（0，2.5）．

所以答案是：（0，2.5），（2，4）；

【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．