Question

【题目】如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A、B两点．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点P的坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），可设抛物线的函数关系式为y=a（x﹣1）2﹣4，再将C（0，﹣3）代入求解即可；

（2）由S△PAB=S△ABD，根据三角形面积公式可得点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，而D的坐标为（1，﹣4），所以点P的纵坐标一定为4．将y=4代入（1）中所求解析式，得到x2﹣2x﹣3=4，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标．

解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），

∴设抛物线的函数关系式为y=a（x﹣1）2﹣4，

又∵抛物线过点C（0，﹣3），

∴﹣3=a（0﹣1）2﹣4，

解得a=1，

∴抛物线的函数关系式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，

∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，

∴点P的纵坐标一定为4．

令y=4，则x2﹣2x﹣3=4，

解得x1=1+2，x2=1﹣2．

∴点P的坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）．