Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．

（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BF＝．

【解析】

（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；

（2）根据∠BAC＝45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB＝AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．

解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，

∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，

在△AEC和△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，

∴∠DBA＝∠BAC＝45°，

由（1）得：AB＝AD，

∴∠DBA＝∠BDA＝45°，

∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，

∴BD2＝2AB2，即BD＝2，

∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，

∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．