Question

【题目】等腰直角和等腰直角分别在直线上．

(1)如图所示，分别在线段上，若，求证：．

(2)若分别在线段外(还在直线上)，根据题意，画出图形，那么(1)的结论是否依然成立，若成立，写出证明过程；若不成立，说明原因；

(3)如图，若，求证：．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）成立，详见解析；（3）详见解析

【解析】

（1）延长，交的延长线于，连接，先证出△BHC为等腰直角三角形，然后证出BC是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，然后根据等边对等角和等角对等边证出HM=MN，即可证出结论；

（2）根据题意，分点M在CB的延长线和点M在BC的延长线两种情况讨论，分别画出对应的图形，根据垂直平分线的性质、等边对等角和等角对等边分别证明即可；

（3）延长，交的延长线于，连接，由(1)可得是的垂直平分线，然后根据等边对等角和等量代换即可证出，从而证出结论．

解：(1)延长，交的延长线于，连接．

，

，

又，

，

∵等腰直角和等腰直角

，

，

为等腰直角三角形，

，

又，

，

是的垂直平分线，

，

，

，

而，

，

(2)成立，证明如下

第一种情况：如图所示

延长，交的延长线于，连接；

由(1)可得：，，

，

显然是的垂直平分线，

，且；

，

，

第二种情况：

易证显然是的垂直平分线，

，

即，

而，∠7=∠8，

，

，

，

(3)延长，交的延长线于，连接．

由(1)可得是的垂直平分线，

，

∴

而，

，

又，

而，

，

，

．