Question

【题目】如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=的图象的一个交点为A（1，m），过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点D（n，﹣2）．

（1）k1和k2的值分别是多少？

（2）直线AB，BD分别交x轴于点C，E，若F是y轴上一点，且满足△BDF∽△ACE，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）4，-16；（2）点F的坐标为（0，﹣8）．

【解析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例函数y=中即可求出k1的值；过A作AM垂直于y轴，过D作DN垂直于y轴，可得出一对直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△ABM与△BDN相似，由相似得比例，求出DN的长，确定出D的坐标，代入反比例函数y=中即可求出k2的值；
（2）在y轴上存在一个点F，使得△BDF∽△ACE，此时F（0，－8），理由为：由y=2x+2求出C坐标，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE为△BDN的中位线，求出OE的长，进而利用勾股定理求出AE，CE，AC，BD的长，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的长，即可确定出此时F的坐标。

（1）∵点A（1，m）在一次函数y=2x+2的图象上，∴m=2+2=4，

∵点A（1，4）在反比例函数y=的图象上，∴k1=1×4=4；

∵BD⊥AB，∴∠BCE+∠BEC=90°，∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠BEC=∠OBC，

∴△BEC∽△OBC，∴．

∵已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与x轴交于点C，

∴B（0，2），C（﹣1，0），∴BC==，OB=2，OC=1，∴CE==5，

∴E（4，0）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则有，解得：，

∴直线BD的解析式为y=﹣x+2．∵点D（n，﹣2）在直线BD上，

∴﹣2=﹣n+2，解得：n=8，∵点D（8，﹣2）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴k2=8×（﹣2）=﹣16．

（2）∵A（1，4），C（﹣1，0），E（4，0），∴CE=4﹣（﹣1）=5，AE==5，

AC==2，∴∠EAC=∠ECA．

∵∠EBO+∠CBO=90°，∠CBO+∠BCO=90°，∴∠EBO=∠BCO=∠EAC=∠DBF，

∴点F在点B的下方．设点F（0，t），B（0，2），D（8，﹣2），

∴BF=2﹣t，BD==4．∵△BDF∽△ACE，∴，

∴BF=2﹣t==10，解得：t=﹣8．

∴当F是y轴上一点，且满足△BDF∽△ACE时，点F的坐标为（0，﹣8）．