Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．

（1）如果AC=3cm，求AB的长度；

（2）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想。

Answer 1

【答案】（1）6cm；（2）ED⊥AB．理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先由角平分线的定义及已知条件得出∠CAE=∠EAB=∠B，再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，那么∠B=30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=2AC=6cm；

（2）先由∠EAB=∠B，根据等角对等边得出EB=EA，又ED平分∠AEB，根据等腰三角形三线合一的性质得到ED⊥AB．

试题解析：（1）∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠CAE=∠EAB，

∵∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠EAB=∠B．

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，

∴∠B=30°；

又∵∠C=90°，AC=3cm，

∴AB=2AC=6cm .

（2）猜想：ED⊥AB．理由如下：

∵∠EAB=∠B，

∴EB=EA，

∵ED平分∠AEB，

∴ED⊥AB.

故答案为（1）6cm （2）猜想：ED⊥AB．