Question

【题目】如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB＝4，AD＝10，∠B＝60°，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）

【解析】

（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；

（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．

证明：（1）在ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中点，
∴DF=AD．
又∵CE=BC，
∴DF=CE，
∵DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．

在ABCD中，∵∠B=60°，AD∥BC，
∴∠B=∠DCE，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=．
在CEDF中，CE=DF=AD=5，则EH=3．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知

DE=．