Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+2与x轴相交于点A、B，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N，交线段AC于点M．点F是线段MA上的动点，连接NF，过点N作NG⊥NF交△ABC的边于点G．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）当点G在边BC上时，连接GF，∠NGF的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠NGF的正切值；

（3）设点F的横坐标为n，点G的纵坐标为m，在整个运动过程中，直接写出m与n的函数关系式，并注明自变量n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠NGF的度数不变化，tan∠NGF=；（3）m与n的关系式为：m=2n–3（≤n≤）或m=（<n≤4）.

【解析】（1）先利用抛物线解析式确定A、B、C的坐标，然后利用勾股定理的逆定理进行证明即可；

（2）先利用待定系数法求出直线AC的然后式，则可确定M（，），再证明△NMF∽△NBG，利用相似比得到=，然后根据正切的定义得到tan∠NGF，从而判断∠NGF的度数为定值；

（3）作GH⊥x轴于H，FQ⊥x轴于Q，F（n，–n+2），分点G在BC上，点G在AC上两种情况进行讨论即可得.

（1）当x=0时，y=–x2+x+2=2，则C（0，2）；

当y=0时，–x2+x+2=0，解得x1=–1，x2=4，则A（4，0），B（–1，0），（2分）

∵BC2=12+22=5，AC2=42+22=20，AB2=25，

∴BC2+AC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；

（2）∠NGF的度数不变化，

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y=–x+2，

∵抛物线的对称轴为直线x=，∴M（，），

∵GN⊥NF，∴∠GNF=90°，∴∠BNG=∠MNF，

∵∠ACB=90°，∴∠NBC=∠OCA，而MN∥OC，

∴∠NMF=∠OCA，∴∠NBG=∠NMF，∴△NMF∽△NBG，

∴==，∴tan∠NGF=，

∴∠NGF的度数为定值；

（3）作GH⊥x轴于H，FQ⊥x轴于Q，F（n，–n+2），

当G点在BC上，如图1，易得直线BC的解析式为y=2x+2，

则G（m–1，m），

∵∠GNF=90°，∴∠GNH=∠NFQ，∴Rt△NGH∽Rt△FNQ，

∴，即，

∴m=2n–3，

当m=0时，2n–3=0，解得n=；当m=2时，2n–3=2，解得n=；

∴此时n的范围为≤n≤；

当点G在AC上，如图2，则<n≤4，则G（4–2m，m），

易得Rt△NGH∽Rt△FNQ，

∴，即，∴m=，

综上所述，故答案为：m与n的关系式为：m=2n–3（≤n≤）或m=（<n≤4）．