Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°．请完成以下任务．

（1）尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D；

②过点D作AB的垂线，垂足为点E．请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母．

（2）若AC=3，BC=4，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）CD=．

【解析】

（1）①按作角平分线的步骤（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与角的两边各有一个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧在角内交于一点，过点A以及这个交点作射线即可）进行作图即可得；

②根据过直线外一点作直线的垂线的方法（以点D为圆心，以大于点D到直线AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半画弧，两弧交于一点，过点D以及这个交点画直线即可）进行作图即可得；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的长，根据作图可知DE=DC，∠AED=∠C=90°，再根据S△ACD+S△ABD=S△ABC，列式计算即可得答案.

（1）如图所示：①AD是∠A的平分线；

②DE是AB的垂线；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AB==5，

由作图过程可知：DE=DC，∠AED=∠C=90°，

∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，

∴ACCD+ABDE=ACBC，

∴×3×CD+×5×CD=×3×4，

解得：CD=．