Question

【题目】【问题情境】如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小丽给出的提示是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

请根据小丽的提示进行证明．

【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，试猜想PD、PE、CF三者之间的数量关系并证明．

【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．

Answer 1

【答案】见解析；CF=PD+PE ；PG+PH的值为4．

【解析】【问题情境】

分析：【问题情境】连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

【变式探究】连接AP，由△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得：CF=PD-PE．

【结论运用】先证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，故只需求出DC即可．

详解：证明：连接AP，如图②，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP+S△ACP，

∴ABCF=ABPD+ACPE．

∵AB=AC，

∴CF=PD+PE．

【变式探究】

证明：连接AP，如图③．

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，

∴ABCF=ABPD﹣ACPE．

∵AB=AC，

∴CF=PD﹣PE．

【结论运用】

过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．

∵AD=8，CF=3，

∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．

由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．

∴DF=5．

∵∠C=90°，

∴DC==4．

∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，

∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC，

∴四边形EQCD是矩形，

∴EQ=DC=4．

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB．

∵∠BEF=∠DEF，

∴∠BEF=∠EFB，

∴BE=BF．

由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ，

∴PG+PH=4，

∴PG+PH的值为4．