【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少？

（3）在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形？若能,求t的值．

若不能,请说明理由；

（4）请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长．

参考答案：

【答案】（1）D坐标为（t+1,）；（2）当t=2时,△DPA的面积最大,最大值为1；（3）经过2秒或3秒时,△PAD是直角三角形；(4) 点D运动路线的长为．

【解析】

试题分析：（1）设出P点坐标,再求出CP的中点坐标,根据相似的性质即可求出D点坐标；

（2）根据题意求出△DPA的面积,分析函数解析式求出最值；

（3）先判断出可能为直角的角,再根据勾股定理求解；

（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可．

试题解析：（1）∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,

∴OP=t,而OC=2,

∴P（t,0）,

设CP的中点为F,则F点的坐标为（,1）,

∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,其坐标为（t+1,）；

（2）S=

∴当t=2时,S最大,最大值为1

（3）∵∠CPD=900,∴∠DPA+∠CPO=900,∴∠DPA≠900,故有以下两种情况：

①当∠PDA=900时,由勾股定理得,

又,,

,

即,解得（不合题意,舍去）

②当∠PAD=900时,点D在BA上,故AE=3－t,得t=3

综上,经过2秒或3秒时,△PAD是直角三角形；

（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=,

∴点D运动路线的长为．

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