Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），

把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6，

a=1，

∴y=（x+1）（x﹣6）=x2﹣5x﹣6

（2）

解：存在，

如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，

设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，

则PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，

∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC

= （﹣m2+5m+6）（m+1）+ （6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+ ×1×6

=﹣3m2+12m+36

=﹣3（m﹣2）2+48，

当m=2时，S有最大值为48，这时m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，

∴P（2，﹣12）

（3）

解：这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B，

y=x2﹣5x﹣6=（x﹣ ）2﹣ ；

因为Q3在对称轴上，所以设Q3（ ，y），

∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，

由勾股定理得：（ +1）2+y2=（ ﹣5）2+（y+6）2，

y=﹣ ，

∴Q3（ ，﹣ ）

【解析】（1）抛物线经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣6）即可求得函数的解析式；（2）作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标．（3）分三种情况画图：①以A为圆心，AB为半径画弧，交对称轴于Q1和Q4 ， 有两个符合条件的Q1和Q4；②以B为圆心，以BA为半径画弧，也有两个符合条件的Q2和Q5；③作AB的垂直平分线交对称轴于一点Q3 ， 有一个符合条件的Q3；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q3坐标．本题考查了利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边形分解成几个图形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．同时还结合了抛物线图形考查了等腰三角形的一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质和等腰三角形的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）即可以解答此题．