Question

【题目】如图，矩形ABCD的一边BC与⊙O相切于G，DC=6，且对角线BD经过圆心O，AD交⊙O于点E，连接BE，BE恰好是⊙O的切线，已知点P在对角线BD上运动，若以B、P、G三点构成的三角形与△BED相似，则BP=______．

Answer 1

【答案】4或12．

【解析】连接OE、OG、DG，如图，GO的延长线交AD于H，

∵BE和BG为⊙O的切线，

∴BG=BE，OB平分∠GBE，OG⊥BC，

而BC∥AD，

∴GH⊥AD，

∴EH=DH，

易得四边形CDHG为矩形，

∴CG=DH，

∴DE=2CG，

∵∠EDB=∠CBD，

∴∠EBD=∠EDB，

∴EB=ED，

∴BE=BG=DE，

∴AE=CG，四边形BGDE为菱形，

在Rt△ABE中，∵sin∠ABE=,

∴∠ABE=30°，

∴∠EBD=∠CBD=30°，

∴BC=6，BD=12，

∴BE=DE=BG=4，

当时，△PBG∽△EBD，即，解得PB=4；

当时，△PBG∽△DBE，即，解得PB=12，

综上所述，BP的长为4或12．

故答案为4或12．