Question

【题目】（1）如图1，Rt△ABC中，若AC=4，BC=3，DE⊥AC，且DE=DB，求AD的长；

（2）如图2，已知△ABC，若AB边上存在一点M，若AC边上存在一点N，使MB=MN，且△AMN∽△ABC，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段MN（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，进而得到，据此可得AD的长．

（2）作∠B的平分线BN，交AC于G，作BN的垂直平分线MG，交AB于M，则MN=BM，而MN∥BC，则△AMN∽△ABC．

（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∵DE⊥AC，∠C=90°，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

即，

解得AD=，

故AD的长为 ．

（2）如图2所示，作∠B的平分线BN，交AC于G，作BN的垂直平分线MG，交AB于M，MN即为所求．