Question

【题目】如图，在中，点为边的中点，过点作射线，过点作 于点，过点作于点，连接并延长，交于点.

(1)求证:；

(2)若，求证: 为等边三角形.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

（1）首先证明∠1=∠2，再证明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH；

（2）首先根据角的和差关系可以计算出∠GFH=30°，再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°，再根据直角三角形的性质可得，HG=HF，进而得到结论．

（1）∵CF⊥AE，BG⊥AE，

∴∠BGF=∠CFG=90°，

∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME，

∵∠GMB=∠CME，

∴∠1=∠2，

∵点D为边BC的中点，

∴DB=CD，

在△BHD和△CED中，

∴△BHD≌△CED（ASA），

∴DF=DH；

（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°，

∴∠GFH=30°，

∵∠BGM=90°，

∴∠GHD=60°，

∵△HGF是直角三角形，HD=DF，

∴DG=HF=DH，

∴△DHG为等边三角形．