Question

【题目】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），

∴∠BCA=∠BAD

（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，

∴ = ，即 = ，

解得：DE=

（3）证明：连结OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠DBO=∠ABO，

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，

∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，

∵BE⊥ED，

∴EB⊥BO，

∴BE是⊙O的切线．

【解析】（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，还要掌握切线的判定定理(切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)的相关知识才是答题的关键．