【题目】已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图.

（1）若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值.

（2）在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点，使得、、、四点构成平行四边形，这样的点有几个？直接写出点的坐标.

参考答案：

【答案】（1）最小值为4.8；（2）这样的点有3个，；；.

【解析】

（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由点A的坐标，利用待定系数法可求出直线0A的解析式，设点P的坐标为(m,m)(),则PE=m，PF=8-m，利用勾股定理可找出EF2关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出EF2的最小值，进而可得出段EF长度的最小值；

（2）由(1)的结论结合平移的性质，可得出平移后点、、的坐标.

解：（1）当x=4时，

∴

设直线OA的解析式为

将代入得k=

设点P的坐标为(m,m)() 则PE=m，PF=8-m

∴FE2=PF2+PE2即FE2=（m）2+（8-m）2=（m-）2+

∴当m=时，EF2取得最小值，此时EF最小值为

∴最小值为4.8.

（2）这样的点有3个.

；；

关闭