Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：△ABC为直角三角形；

（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）见解析；（3）△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．

【解析】分析：求出点的坐标，用待定系数法求二次函数解析式即可.

分别求出的长度，用勾股定理逆定理判定即可.

在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点．讨论时可设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而描述面积函数．利用二次函数最值性质可求得最大面积．

详解：(1)∵直线交x轴、y轴于B.C两点，

∴B(4,0),C(0,2)，

∵过B.C两点，

∴，

解得，

∴

(2)证明：如图1，连接AC，

∵与x负半轴交于A点，

∴A(1,0)，

在Rt△AOC中，

∵AO=1，OC=2，

∴

在Rt△BOC中，

∵BO=4，OC=2，

∴

∵AB=AO+BO=1+4=5，

∴

∴△ABC为直角三角形.

(3)△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为，理由如下：

①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点,如图2,此时△AGF∽△ACB∽△FEB.

设

∵，

∴，

∴

∴

即当时,S最大,为

②AB边上有两点,AC、BC边上各有一点,如图3,此时△CDE∽△CAB∽△GAD，

设GD=x，

∵，

∴，

∴

∴

∵，

∴，

∴ ，

∴

即x=1时,S最大,为

综上所述,△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为