Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）①试说明CE=CF，∠BCE=∠DCF；

②如图1，若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=GF成立吗？为什么？

（2）运用（1）中积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在梯形ABCG中，AG∥BC，BC＞AG，∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上 一点，且∠GCE=45°，BE=2，求GE的长．

Answer 1

【答案】（1）成立（2）GE=5

【解析】

试题分析：（1）①根据正方形的性质可得BC=CD，再利用“边角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等的单结论；

②根据全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠DCF，再求出∠GCF=45°，从而得到∠GCF=∠GCE，再利用“边角边”证明△GCE和△GCF全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=GF；

（2）设EG=x，根据（1）的结论表示出AG，再求出AE，然后在Rt△AEG中，利用勾股定理列出方程求解即可．

（1）①证明：在正方形ABCD中，BC=CD，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴CE=CF；，∠BCE=∠DCF

②EG=BE+GD．

理由如下：∵△BCE≌△DCF，

∴∠BCE=∠DCF，

∵∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=90°﹣45°=45°，

∴∠GCF=∠GCE，

在△GCE和△GCF中，，

∴△GCE≌△GCF（SAS），

∴EG=GF；

（2）设EG=x，

由（1）可知，BE+（6﹣AG）=EG，

即2+（6﹣AG）=x，

∴AG=8﹣x，

又∵AE=AB﹣BE=6﹣2=4，

∴在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

即GE=5．